Wprowadzenie do pozycyjnych systemów liczbowych

1.   Co to jest system liczbowy.
2.   Rodzaje systemów liczbowy.
3.   Jakie są najważniejsze systemy liczbowe.
4.   Jakie są cechy systemów pozycyjnych.
5.   Zastosowanie i cechy systemu dziesiętnego.
6.   Zastosowanie i cechy systemu dwójkowego.
7.   Jak policzyć wartość liczby dwójkowej.
8.   Jak zamienić liczbę dziesiętną na dwójkową.

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego zapisywania i nazywania liczb.

Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi), które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.

Rodzaje systemów liczbowy

• addytywne - które posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku małych liczb, a następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich nazwa.
  Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w Mezopotamii sześćdziesiątkowy system liczbowy, w którym podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60, natomiast najbardziej znanym i wciąż stosowanym jest rzymski system liczbowy z podstawowymi wielokrotnościami 10 i 5.
• pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero). W momencie gdy dana potęga nie jest potrzebna do zapisu danej liczby, zostawia się w zapisie puste miejsce, lub częściej specjalny symbol oznaczający zbiór pusty - współcześnie jest to cyfra 0.

Najważniejsze pozycyjne systemy liczbowe

• jedynkowy system liczbowy
• dwójkowy system liczbowy
• siódemkowy system liczbowy
• ósemkowy system liczbowy
• dziesiętny system liczbowy
• dwunastkowy system liczbowy
• szesnastkowy system liczbowy
• sześćdziesiątkowy system liczbowy

Podstawowe cechy dowolnego systemu pozycyjnego

1. System pozycyjny charakteryzuje liczba zwana podstawą systemu pozycyjnego.
2. Do zapisu liczby służą cyfry.
3. Cyfr jest zawsze tyle, ile wynosi podstawa systemu: 0,1,2,...,(p-1)
4. Cyfry ustawiamy na kolejnych pozycjach.
5. Pozycje numerujemy od 0 poczynając od strony prawej zapisu.
6. Każda pozycja posiada swoją wartość, którą nazywamy wagą pozycji.
7. Waga jest równa podstawie systemu podniesionej do potęgi o wartości numeru pozycji.
8. Cyfry określają ile razy waga danej pozycji uczestniczy w wartości liczby
9. Wartość liczby obliczamy sumując iloczyny cyfr przez wagi ich pozycji

Wagi i pozycje w systemach pozycyjnych




gdzie:
C - cyfra danego systemu o podstawie p
p - podstawa systemu pozycyjnego

Wartość dziesiętna liczby zapisanej w systemie pozycyjnym o podstawie p za pomocą ciągu cyfr

wynosi

 


gdzie:
C - cyfra danego systemu o podstawie p
Ci - cyfra na i-tej pozycji, i = 0,1,2,...,n-1
n - ilość cyfr w zapisie liczby
p - podstawa systemu pozycyjnego

System dziesiętny

Podstawę systemu dziesiętnego tworzy liczba 10. Jest to specjalna wartość charakteryzująca ten system pozycyjny, od której bierze on swoją nazwę: podstawa 10 - system dziesiętny.
Zapis liczby tworzymy za pomocą cyfr, czyli umownych znaków o przypisanych wartościach od 0 do 9. Ilość cyfr jest zawsze równa podstawie systemu, czyli w systemie dziesiętnym będzie ich dziesięć. Największa cyfra jest o 1 mniejsza od podstawy (9 = 10 - 1).


Cyfry umieszczamy na kolejnych pozycjach. Wagi pozycji są kolejnymi potęgami podstawy systemu, czyli w systemie dziesiętnym są to kolejne potęgi liczby 10:




Cyfra na danej pozycji określa ile razy należy wziąć wagę tej pozycji przy wyznaczaniu wartości całej liczby.

System dwójkowy

Dwójkowy system liczbowy zwany inaczej binarnym to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu.


Wartość dziesiętna liczby zapisanej w kodzie binarnym



wynosi



gdzie:
b - bit, cyfra dwójkowa 0 lub 1
n - liczba bitów w zapisie liczby





Jeśli dokładnie przyjrzeć się powyższym obliczeniom, to można zauważyć, iż w systemie binarnym w celu obliczenia wartości liczby wystarczy po prostu zsumować wagi pozycji, na których cyfry przyjmują wartość 1.